Chapitre 3 – Equations linéaires et quadratiques

\[200{\color{Red} -4y+2y}=160\]

La première étape est d’assembler les termes semblables ; c’est-à-dire y.

\[=200-2y=160\]

Ensuite, on doit soustraire (-200) des deux côtés de l’équation, afin d’isoler l’inconnue y.

\[=-2y=160-200\]

On effectue les calculs du côté droit de l’équation.

\[=-2y=-40\]

Finalement, on divise les deux côtés de l’équation par (-2).

\[y=\frac{-40}{-2}=20\]

On a ainsi trouver la valeur de y.

\[2x^2+4x+3=x^2+9x-3\]

La première étape est d’identifier les termes semblables.

\[={\color{Red} 2x^2}{\color{DarkBlue} +4x}{\color{Teal} +3}={\color{Red} x^2}{\color{DarkBlue} +9x}{\color{Teal} -3}\]

On réécrit l’équation en assemblant les termes semblables du même côté.

\[=2x^2-x^2+4x-9x+3+3=0\]

On effectue les calculs pour simplifier l’expression au maximum.

\[=x^2-5x+6=0\]

On va résoudre l’équation avec la méthode de la décomposition du trinôme ; on réécrit l’équation telle que :

• m + n = -5
• m ⋅ n = 6

\[=x^2-2x-3x+6=0\]

On peut maintenant factoriser l’expression.

\[=x(x-2)-3(x-2)=0\]

On factorise l’expression par la mise en évidence.

\[=(x-3)(x-2)=0\]

L’expression peut être décomposée en produits de facteurs, telle que :

\[=x-3=0\textrm{ et }x-2=0\]

Par conséquent, on résout chaque expression individuellement.

\[=x-2=0\leftrightarrow x=2\]

On détermine les solutions de l’équation, telles que :

\[S=\left \{ 2;3 \right \}\]

\[-6x^2+216=0\]

💡 En sachant que l’on ne peut pas résoudre avec la méthode générale, on prend les méthodes de factorisation (dans l’ordre) et l’on décide laquelle convient le mieux.

Dans cet exemple, on remarque que 216 est un multiple de 6. Ainsi, on peut procéder par la mise en évidence.

\[={\color{Red} -6}(x^2-36)=0\]

🚀 On est à nouveau face à un exemple où l’on peut décomposer en produits de facteurs :

• -6 = 0
• x² – 36 = 0

\[=\bullet -6 = 0\]

🧠 Ici, on a une égalité qui n’est pas vraie et donc ne sera pas considérée pour la suite de la résolution.

\[=x^2-36=0\]

💪 On va maintenant résoudre cette équation. Afin de simplifier la résolution, on peut dire que 36 = 6². On réécrit l’équation ainsi :

\[=x^2-6^2=0\]

💪 On est ici face à une identité remarquable du type a² – b² = (a – b)(a + b). On réécrit l’équation telle que :

\[=(x-6)(x+6)=0\]

💪 On décompose en produits de facteurs :

• x – 6 = 0
• x+ 6 = 0

\[=x-6=0\leftrightarrow x=6\]

\[=x+6=0\leftrightarrow x=-6\]

💪 On trouve les solutions de nos deux facteurs et on peut ainsi déterminer les solutions de cette équation : \[S=\left \{ -6;6 \right \}\]

\[\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{3}(x-6)=\frac{2}{3}\]

💪 Afin de simplifier au maximum, on réécrit l’équation telle que :

\[=\frac{(x-4)^2}{2}+\frac{(x-6)}{3}=\frac{2}{3}\]

💪 L’étape qui suit est de mettre l’ensemble de l’expression sous le même dénominateur. On identifie que 2 ⋅ 3 = 6 est le plus petit multiple commun (PPMC) entre les facteurs 2 et 3.

\[=\frac{[{\color{Red} 3}\cdot(x-4)^2]+[{\color{Teal} 2}\cdot(x-6)]}{{\color{Teal} 2}\cdot{\color{Red} 3}}=\frac{2\cdot {\color{Teal} 2}}{{\color{Red} 3}\cdot {\color{Teal} 2}}\]

💪 Lorsque l’ensemble de l’expression est sous le même dénominateur, on peut effectuer les calculs (en faisant très attention aux parenthèses). La première chose que l’on remarque c’est que l’on a une identité remarquable du type (a –b)² = a² – 2ab + b².

\[=\frac{[3(x^2-8x+6)]+2[2(x-6)]}{6}=\frac{4}{6}\]

💪 On peut maintenant distribuer les parenthèses du côté gauche de l’expression.

\[=\frac{3x^2-24x+48+2x-12)}{6}=\frac{4}{6}\]

💪 Maintenant que l’ensemble de l’expression est sous le même dénominateur, on peut s’en débarrasser.

\[=3x^2-24x+48+2x-12=4\]

💪 On assemble les termes communs du même côté de l’expression.

\[=3x^2-22x+32=0\]

💪 On résout l’équation avec la méthode générale. Pour cela, on détermine la valeur de delta (Δ) :

\[\Delta b2-4ac=(-22)^2-4\cdot 3\cdot 32 =100\]

💪 Ensuite, on cherche les solutions de l’équation telles que :

\[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-22)-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2\]

\[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-22)+\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\]

💪 On détermine que les solutions de l’équation sont :

\[S=\left \{ 2;\frac{16}{3} \right \}\]

\[3x^2+6x+3=0\]

💪 La première étape consiste à trouver la valeur de delta (Δ) :

\[\Delta =b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3 = 0\]

🧠 Étant donné que Δ = 0, alors la solution a uniquement 1 solution.

💪 On peut donc rechercher la solution (x₁) avec la formule suivante :

\[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6+\sqrt{0}}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1\]

💪 On peut donc déterminer la solution de cette équation :

\[S=\left \{ 1 \right \}\]

\[S=\left \{ -1 \right \}\]

Il nous reste à déterminer l’ensemble des solutions possibles

\[\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\]

💪 Étant donné que l’on a des inconnues au dénominateur, la première étape est de trouver l’ensemble de définition (ED). Ici, les contraintes que l’on a sont :

• x – 2 ≠ 0 ↔ x = 2
• x + 2 ≠ 0 ↔ x = -2

On peut déterminer l’ED tel que :

\[ED=\mathbb{R}\left \{ -2;2 \right \}\]

\[=\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{8}{{\color{Cyan} (x-2)(x+2)}}\]

💪 Ensuite, on cherche à avoir l’ensemble de l’équation sous le même dénominateur. On collecte donc tous les dénominateurs pour déterminer celui qui est commun. Le dénominateur du dernier terme est une identité remarquable, que l’on peut développer ainsi : (x – 2)(x + 2). Ce que l’on doit faire maintenant, c’est de multiplier chaque terme par la partie du dénominateur manquant :

\[=\frac{x{\color{Red} (x+2)}-4[4{\color{Teal} (x-2)}]}{{\color{Teal} (x-2)}{\color{Red} (x+2)}}=\frac{8}{{\color{Teal} (x-2)}{\color{Red} (x+2)}}\]

💪 On effectue tous les calculs pour simplifier l’expression au maximum.

\[=\frac{(x^2+2x)-(4x-8)}{(x-2)(x+2)}=\frac{8}{(x-2)(x+2)}\]

🚀 L’ensemble de l’équation est au même dénominateur – on peut donc se débarrasser du dénominateur et toutes les parenthèses, en faisant bien attention aux signes !

\[=x^2+2x-4x+8=8\]

💪 On simplifie l’expression en assemblant les termes semblables.

\[=x^2-2x=0\]

💪 On remarque que l’on peut mettre en évidence le facteur x et ainsi résoudre avec les produits des facteurs.

\[=x(x-2)=0\]

💪 On effectue les calculs individuellement, tels que :

• x = 0
• x – 2 = 0 ↔ x = 2

🧠 Étant donné que 2 est une valeur interdite (ensemble de définition), la seule solution est x = 0. On détermine la solution de l’équation telle que :

\[S=\left \{ 0 \right \}\]

\[2x^2-12x+18=0\]

💪 La première étape consiste à trouver les solutions de cette équation. On va résoudre avec la méthode générale.

\[\Delta b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 2\cdot 18 =0\]

💪 On trouve la valeur de delta (Δ), pour déterminer combien de solutions l’équation a. Étant donné que delta = 0, l’équation a uniquement une solution. On détermine donc la valeur de x₁ :

\[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-12)-\sqrt{0}}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]

🧠 Lorsque le trinôme n’a qu’une racine, alors on réécrit : ax² + bx + c = a(x – x₁)². Dans ce cas, les valeurs que l’on obtient sont :

• a = 2
• x₁ = 3

On peut alors réécrire l’équation telle que :

\[2(x-3)^2\]