Chapitre 3 – Equations linéaires et quadratiques
Exercice corrigé n° 1 : Résoudre l'équation suivante
\[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=1-\frac{1}{1-x}\]
💪 La première étape est de déterminer l’ensemble de définition (ED). Dans ce cas, plusieurs conditions sont à respecter, notamment :
\[x-1\neq 0\]
\[1-x\neq 0\]
\[x\neq 0\]
Cela revient à résoudre les équations ainsi :
\[x-1 = 0 \leftrightarrow x=1\]
\[1-x = 0 \leftrightarrow x=1\]
\[x=0\]
Par conséquent, l’ED est défini tel que
\[x\in \mathbb{R}-\left \{ 0;1 \right \}\]
💪 Pour simplifier la résolution, on détermine que notre dénominateur est x(x -1). Par conséquent, on doit adapter le dénominateur du dernier terme :
\[=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=1-\frac{1}{{\color{Red} -x-1}}\]
💡 En appliquant la règle des signes (- par – = +), cela devient :
\[=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=1{\color{Red} +}\frac{1}{{\color{Red} x-1}}\]
💪 On peut maintenant appliquer le dénominateur à tous les termes, ce qui revient à multiplier par x(x – 1).
\[=\frac{x\cdot {\color{Red} x}}{{\color{Red} x}(x-1)}-\frac{1({\color{DarkBlue} x-1})}{x({\color{DarkBlue} x-1})}=\frac{1\cdot {\color{Red} x}({\color{DarkBlue} x-1})}{{\color{Red} x}({\color{DarkBlue} x-1})}-\frac{1\cdot {\color{Red} x}}{{\color{Red} x}(x-1)}\]
💪 On peut maintenant nous débarrasser du dénominateur, et également faire les calculs (💡 faire très attention aux signes) :
\[=x^2-(x-1)=x(x-1)+x\]
💪 En effectuant les calculs, on peut assembler les termes communs.
\[={\color{Red} x^2}{\color{DarkBlue} -x}+1={\color{Red} x^2}{\color{DarkBlue} -x+x}\]
💪 On assemble les facteurs semblables du côté gauche de l’expression.
\[{\color{Red} x^2-x^2}{\color{DarkBlue} -x+x-x}=-1\]
\[=x=1\]
Étant donné que x = 1 est exclu de l’ED, cette équation n’a pas de solution. On écrit alors que :
\[S=\varnothing\]
Exercice corrigé n° 2 : Résoudre l'équation suivante
\[\frac{4x}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{-12}{(x+3)(x-3)}\]
💪 La première étape est de déterminer l’ensemble de définition (ED). Dans ce cas, plusieurs conditions sont à respecter, notamment :
\[x+3\neq 0\]
\[x-3\neq 0\]
Cela revient à résoudre les équations ainsi :
\[x+3=0 \leftrightarrow x=-3\]
\[x-3=0 \leftrightarrow x=3\]
L’ED est défini tel que
\[x\in \mathbb{R}-\left \{ -3;3 \right \}\]
💪 On met l’ensemble de l’équation au même dénominateur : (x – 3)(x + 3) :
\[\frac{4x\cdot {\color{Red} (x-3)}}{(x+3){\color{Red} (x-3)}}-\frac{x{\color{DarkBlue} (x+3)}}{(x-3){\color{DarkBlue} (x+3)}}=\frac{-12}{(x+3)(x-3)}\]
💪 Maintenant que l’ensemble de l’expression est au même dénominateur, on peut s’en débarrasser.
\[[{\color{DarkBlue} 4x\cdot (x-3)}]-[{\color{DarkGreen} x(x+3)}]=-12\]
💪 On effectue les calculs du côté gauche de l’expression.
\[4x^2-12x-(x^2+3x)=-12\]
💪 On assemble les termes semblables.
\[{\color{Red} 4x^2}{\color{DarkBlue} -12x}{\color{Red} -x^2}{\color{DarkBlue} -3x}=-12\]
💪 En simplifiant les calculs, cela revient à :
\[3x^2-15x+12=0\]
💪 On divise les deux côtés de l’équation par 3 :
\[x^2-5x+4=0\]
💪 On factorise le côté gauche qui doit être réécrit en tant que
\[x^2+ax+bx+4\]
Pour rechercher a et b, on doit remplir les conditions suivantes :
- a + b = -5
- ab = 4
💪 Par tâtonnement, on arrive à la conclusion que a = 1 et b =4
\[x^2+x+4x+4=0\]
💪 On factorise en mettant en évidence les facteurs x et 4.
\[x(x+1)+4(x+1)\]
💪 On met en évidence les facteurs (x + 4) et (x + 1).
\[(x+4)(x+1)=0\]
💪 On résout les équations de manière séparée, tel que :
\[x+4=0\leftrightarrow x=-4\]
\[x+1=0\leftrightarrow x-1\]
Les solutions de cette équation sont donc :
\[S=\left \{ -4;1 \right \}\]
Exercice corrigé n° 3 : Résoudre l'équation
\[\frac{3(x-1)}{2x-2}=1\]
💪 La première étape est de chercher l’ensemble de définition (ED). La contrainte que nous avons est la suivante :
\[2x-2=0\]
\[=2x=2\]
\[x=1\]
Par conséquent, on détermine que l’ED de cette équation est :
\[ED:x\in ]1;+\infty[\]
🚀 Étant donné que nous sommes face à une fraction, et afin de se débarrasser de celle-ci, le mieux à faire et de mettre l’ensemble de l’expression au même dénominateur.
\[\frac{3(x-1)}{2x-2}=\frac{1{\color{Red} (2x-2)}}{{\color{Red} 2x-2}}\]
💪 On se débarrasse définitivement du dénominateur et on réécrit l’expression telle que :
\[3(x-1)=2x-2\]
💪 On effectue le calcul du côté gauche du signe =, pour simplifier l’expression.
\[3x-3=2x-2\]
💪 On assemble les termes communs, c’est-à-dire que nous déplaçons les facteurs avec une inconnue à gauche et le reste à droite.
\[3x-2x=-2+3\]
💪 On effectue les calculs des deux côtés du signe =.
\[x=1\]
Étant donné que l’ED :
\[x> 1\]
alors cette équation est impossible. On le note ainsi :
\[S=\O\]
Exercice corrigé n° 4 : Résoudre l'équation
\[\frac{3}{x}+\frac{1}{2}=\frac{2x-1}{x}\]
💪 La première étape est de chercher l’ensemble de définition (ED). La contrainte que nous avons est la suivante :
\[x\neq 0\]
Par conséquent, on détermine que l’ED de cette équation est :
\[ED:x\in ]0;+\infty[\]
Étant donné que nous sommes face à une fraction, et afin de se débarrasser de celle-ci, le mieux à faire et de mettre l’ensemble de l’expression au même dénominateur.
\[\frac{{\color{Red} 2}\cdot 3}{{\color{Red} 2}\cdot x}+\frac{{\color{Red} x}\cdot 1}{{\color{Red} x}\cdot 2}=\frac{{\color{Red} 2}(2x-1)}{{\color{Red} 2}\cdot x}\]
💪 On se débarrasse définitivement du dénominateur et on réécrit l’expression telle que :
\[6+x=2(2x-1)\]
💪 On effectue le calcul du côté droite du signe =, pour simplifier l’expression.
\[6+x=4x-2\]
On assemble les termes communs, c’est-à-dire que nous déplaçons les facteurs avec une inconnue à gauche et le reste à droite.
\[X-4X=-2-6\]
On effectue les calculs des deux côtés du signe =.
\[-3x=-8\]
💪 On isole l’inconnue x du côté gauche et donc on divise l’équation par le coefficient (-3).
\[x=\frac{-8}{-3}\]
💪 On annule les deux signes négatifs et on écrit la solution finale de cette équation.
\[S=\left \{ \frac{8}{3} \right \}\]