Chapitre 3 – Equations linéaires et quadratiques

\[\left\{\begin{matrix} -7x-9y=29\\ 8x+6=-16 \end{matrix}\right.\]

💪 Pour la résolution de ce système, on décide d’utiliser la méthode de substitution. On isole donc x dans la deuxième équation.

💪 Après avoir isoler x dans la deuxième équation, on remplace x dans la première équation.

\[=\left\{\begin{matrix} -7x-9y=29\\ x=-2-\frac{3y}{4} \end{matrix}\right.\]

💪 On distribue le terme (-7) à l’intérieur de la parenthèse.

\[={\color{DarkRed} -7}(-2-\frac{3y}{4})-9y=29\]

💪 Afin que l’on puisse simplifier l’expression, on doit mettre l’ensemble de l’équation sous le même dénominateur – dans ce cas, qui est 4.

\[=\frac{(14\cdot {\color{Red} 4})+21y-(9\cdot {\color{Red} 4})}{{\color{Red} 4}}=29\]

💪 On effectue les calculs et on se débarrasse du dénominateur, puisque l’ensemble de l’expression est sous le même dénominateur.

\[{=\color{Teal} 56}{\color{DarkBlue} +21y-36y}={\color{Teal} 116}\]

💪 On assemble les termes semblables.

💪 On doit maintenant isoler y pour trouver sa valeur. Afin de simplifier, on divise l’équation par (-15).

💪 On vient de trouver à quoi y correspond. Afin de trouver la valeur de x, on remplace y dans la première équation, c’est-à-dire :

\[=-7x-(9{\color{DarkBlue} (-4)})=29\]

💪 On effectue l’opération de multiplication, en prêtant bien attention aux règles des signes !

\[=-7x{\color{DarkBlue} -(-36)}={\color{DarkBlue} 29}=-7x=-7\]

💪 On soustrait (-36) à l’ensemble de l’équation, ceci afin d’isoler l’inconnue x.

\[=-7x=-7\]

💪 Finalement, on doit isoler x, c’est-à-dire diviser l’ensemble de l’expression par le terme (-7).

\[=x=-1\]

💪 On trouve la valeur de l’inconnue x, et on peut donc déterminer les solutions de ce système.

\[S=\left \{ 1;-4 \right \}\]

\[\left\{\begin{matrix} 5(5x-2)=20x-2(y-3)\\ 2(x-5)-12y=21(1-y) \end{matrix}\right.\]

💪 Afin d’obtenir une expression simplifiée, on doit tout d’abord la développer, en distribuant les parenthèses.

\[=\left\{\begin{matrix} {\color{Red} 25x}{\color{Teal} -10}={\color{Red} 20x}-2y{\color{Teal} +6}\\ 2x{\color{Teal} -10}{\color{DarkBlue} -12y}={\color{Teal} 21}{\color{DarkBlue} -21y }\end{matrix}\right.\]

💪 On assemble tous les termes communs.

\[=\left\{\begin{matrix} 25x-20x-2y=6+10\leftrightarrow 5x-2y=16\\ 2x-12y+21y=21+10\leftrightarrow 2x+9y=31 \end{matrix}\right.\]

💪 On décide d’isoler x dans la première équation, c’est-à-dire que tous les autres termes passent de l’autre côté.

\[=\left\{\begin{matrix} x=\frac{16}{5}-\frac{2y}{5}\\ 2x+9y=31 \end{matrix}\right.\]

On vient de trouver à quoi x correspond. Afin de trouver la valeur de y, on remplace x dans la deuxième équation, c’est-à-dire :

\[=2(\frac{16}{5}-\frac{2y}{5})+9y=31\]

💪 Afin de simplifier l’expression, on met l’ensemble de l’équation sous le même dénominateur, c’est-à-dire 5.

\[=\frac{32}{{\color{DarkBlue} 5}}-\frac{4y}{{\color{DarkBlue} 5}}+\frac{(9{\color{DarkBlue} \cdot 5})y}{{\color{DarkBlue} 5}}=\frac{31\cdot {\color{DarkBlue} 5}}{{\color{DarkBlue} 5}}\]

💪 On peut se débarrasser du dénominateur, puisque toute l’équation est sous le même. Ensuite, on isole tous les termes y du côté gauche de l’expression.

\[=-4y+45y=155-32\]

💪 On effectue les opérations, afin d’assembler les termes semblables.

\[=41y=123\]

💪 On isole le terme y, c’est-à-dire que l’on divise l’équation par 41.

\[=y=3\]

\[=2x+(9\cdot 3)=31\]

💪 On effectue la multiplication et on isole x du côté gauche de l’expression.

\[=2x=31-27\]

💪 On effectue la soustraction du côté droit de l’expression.

\[=2x=4\]

\[=x=2\]

\[S=\left \{ 2;3 \right \}\]

\[\left\{\begin{matrix} x-\frac{y}{2}=\frac{5}{3}\\ \frac{3}{2}x-\frac{3}{8}y=1 \end{matrix}\right.\]

 Pour la résolution de ce système, on décide d’utiliser la méthode d’addition/soustraction. On soustrait la première équation à la deuxième, afin de se débarrasser de l’inconnue x. Pour cela, on multiplie tous les termes de la première équation par 3/2.

\[=\left\{\begin{matrix} {\color{DarkBlue} \frac{3}{2}}x-({\color{DarkBlue} \frac{3}{2}}\cdot \frac{y}{2})=({\color{DarkBlue} \frac{3}{2}}\cdot \frac{5}{2})\\ \frac{3}{2}x-\frac{3}{8}y=1 \end{matrix}\right.\]

💪 On effectue tous les calculs nécessaires dans la première équation.

\[=\left\{\begin{matrix} \frac{3}{2}x-\frac{3}{4}y=\frac{5}{2}\\ {\color{Red} -}\frac{3}{2}x-\frac{3}{8}y=1 \end{matrix}\right.\]

💪 Après avoir multiplié, on soustrait les deux équations.

\[=\left\{\begin{matrix} \frac{3}{2}x-\frac{3}{4}y=\frac{5}{2}\\ {\color{Red} -}\frac{3}{2}x-\frac{3}{8}y=1 \end{matrix}\right.\]

💪 On simplifie l’expression ; c’est-à-dire que les deux termes ayant l’inconnue x, disparaissent.

\[=-\frac{3y}{8}=\frac{3}{2}\]

💪 Afin de simplifier, on met l’ensemble de l’expression sous le même dénominateur ; c’est-à-dire le plus petit multiple commun (PPMC) entre 8 et 2 – qui est 8.

\[=-\frac{3y}{8}=\frac{{\color{DarkBlue} 8}\cdot 3}{{\color{DarkBlue} 8}\cdot 2}\]

💪 On peut ainsi réécrire l’équation sans le dénominateur (puisque c’est le même pour toute l’expression), pour rapidement trouver la valeur de y.

\[=-3y=12\Leftrightarrow y=-4\]

💪 La valeur de y étant trouvée, on la remplace dans la première équation pour trouver x.

\[=x{\color{DarkBlue} -}\frac{{\color{DarkBlue} (-4)}}{2}=\frac{5}{3}\]

💪 On simplifie l’expression du côté gauche de l’expression.

\[=x+2=\frac{5}{3}\leftrightarrow x=\frac{5}{3}-2\]

💪 On effectue les calculs du côté droit de l’expression.

\[=x=\frac{5}{3}-\frac{2\cdot 3}{3}\leftrightarrow x=\frac{5-6}{3}\]

💪 On effectue la dernière opération à droite de l’équation, pour trouver la valeur de x.

\[=x=-\frac{1}{3}\]

💪 On détermine ainsi les solutions de ce système d’équations, tel que :

\[S=\left \{ -\frac{1}{3};-4 \right \}\]

\[\left\{\begin{matrix} 3x+2y=7\\ 6x+4y=14 \end{matrix}\right.\]

 Pour la résolution de ce système, on décide d’utiliser la méthode de substitution. On isole donc x dans la première équation.

\[=\left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{3}-\frac{2y}{3}\\ 6x+4y=14 \end{matrix}\right.\]

💪 On peut maintenant remplacer l’inconnue x dans la deuxième équation.

\[=6(\frac{7}{3}-\frac{2y}{3})+4y=14\]

💪 On effectue les opérations, c’est-à-dire que l’on distribue 6 dans la parenthèse.

\[={\color{Red} 14}{\color{DarkBlue} -4y+4y}={\color{Red} 14}\]

💪 On assemble les termes semblables. On remarque alors que le résultat de l’expression est 0 = 0.

\[=0=0\]

💪 Lorsque l’on a ce type de résultat, on dit que l’on est face à un système indéterminé et donc, qu’il y a une infinité de solutions.

\[\left\{\begin{matrix} 6x-2y=5\\ 18x-6y=-1 \end{matrix}\right.\]

 Pour la résolution de ce système, on décide d’utiliser la méthode d’addition/soustraction. Pour cela, on multiplie la première équation par 3.

\[=\left\{\begin{matrix} ({\color{Red} 3}\cdot 6x)-({\color{Red} 3}\cdot 2y)=({\color{Red} 3}\cdot 5)\\ 18x-6y=-1 \end{matrix}\right.\]

💪 On effectue les opérations de multiplication dans la première équation, afin de simplifier ensuite la résolution.

\[=\left\{\begin{matrix} 18x-6y=15\\ {\color{Red} -}18x-6y=-1 \end{matrix}\right.\]

On remarque que…

• 18 – 18 = 0
• -6 – (-6) = 12
• 15 – (-1) = 16

\[=12=16\]

💪 Cette égalité n’étant pas vraie, on peut conclure que ce système est impossible.