Chapitre 3 – Equations linéaires et quadratiques
Equations du premier degré à une inconnue de type ax + b = 0
Objectifs
Lorsque l’on parle d’équation du premier degré, devant quelles sortes d’équations peux-tu te retrouver ?
- une équation simple du type ax + b = 0 : \[2x+3=0\]
- une équation un peu moins simple du type ax + b = cx + d : \[2x + 4 = -4x + 28\]
- une équation sous forme fractionnaire : \[\frac{x}{3}=\frac{4-x}{2}\]
- une équation rationnelle (avec l’inconnue au dénominateur) : \[\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{3}=1\]
→ attention dans ce cas à l’ensemble de définition
Ce cours traitera de la forme générale, c’est-à-dire la plus simple.
Définition
Une équation est formée de plusieurs membres séparés par un "=". Résoudre une équation revient à trouver la/les valeur(s) de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée. La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est la suivante : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
Commençons par le début 🤗 .
Que signifie « premier degré » ? Cela veut dire que l’inconnue est à la puissance 1.
- x1 = x → premier degré
- x2 = x1 ⋅ x1 → deuxième degré
- x3 = x2 ⋅ x1 = x1 ⋅ x1⋅ x1 → troisième degré
Lorsque l’on parle d’équation du premier degré, devant quelles sortes d’équations peux-tu te retrouver ?
- une équation simple du type ax + b = 0 : \[2x+3=0\]
- une équation un peu moins simple du type ax + b = cx + d : \[2x + 4 = -4x + 28\]
- une équation sous forme fractionnaire : \[\frac{x}{3}=\frac{4-x}{2}\]
- une équation rationnelle (avec l’inconnue au dénominateur) : \[\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{3}=1\]
→ attention dans ce cas à l’ensemble de définition
Ce cours traitera de la forme générale, c’est-à-dire la plus simple.
Reprenons la forme générale d’une équation du premier degré à une inconnue : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
Pour une telle équation, la solution est et sera toujours la suivante :
Pourquoi ?
ETAPE 1 : on passe le b de l’autre côté du « = » en changeant son signe
\[ax=-b\]
ETAPE 2 : on divise le -b par a SANS changer son signe
\[x = \frac{-b}{a}\]
Prenons un exemple : \[2x+3=0\]
Ici nous avons deux options :
- 1. Utiliser la formule que l’on connaît car nous avons du ax + b = 0 avec a ≠ 0, la réponse est donc
\[x = \frac{-b}{a}\] → plus rapide
- 2. Utiliser un guide pas à pas que nous allons construire ensemble
Option 1 : Donc a = 2 et b = 3
\[x =\frac{-3}{2}\]
Option 2 :
→ Effectuer tous les calculs de chaque côté du « = » → attention aux signes et aux priorités des opérations
\[2x+3=0\] Rien à faire comme calcul.
→ Réduire au maximum afin d’obtenir l’équation la plus simple possible.
Déjà fait.
→ Isoler l’inconnue du côté gauche de préférence (avec le coefficient qui la multiplie, si différent de 1), ceci implique que les nombres « seuls » qui passent de l’autre côté doivent changer de signe, sauf s’il s’agit d’une division.
Ici le coefficient vaut 2.
Nous avons donc 2x = -3
→ Diviser par le coefficient qui la multiplie, si différent de 1.
On divise donc par 2, SANS changer le signe, car il s’agit d’une DIVISION.
\[x=\frac{-3}{2}\]
→ Vérifier si l’on a trouvé la bonne valeur dans l’équation de départ.
On remplace donc le x par la réponse trouvée soit \[\frac{-3}{2}\]
\[2\cdot \frac{-3}{2} + 3 = \frac{-6}{2}+3=\frac{-6}{2}+\frac{6}{2} = 0\]
On a donc bien trouvé la bonne réponse.
Voici donc la méthodologie toujours valable pour savoir résoudre des équations simples, sans fraction ni racine, c’est-à-dire :
- soit des équations du type ax + b = 0
- soit des équations du type ax + b = cx + d
Guide pas à pas
- Effectuer tous les calculs de chaque côté du signe = → attention aux signes et aux priorités des opérations
- Réduire au maximum afin d’obtenir l’équation la plus simple possible.
- Isoler l’inconnue du côté gauche de préférence (avec le coefficient qui la multiplie, si différent de 1), ceci implique que les nombres « seuls » qui passent de l’autre côté doivent changer de signe, sauf s’il s’agit d’une division.
- Diviser par le coefficient qui la multiplie, si différent de 1.
- Noter la valeur de l’inconnue.
- Vérifier si on a trouvé la bonne valeur dans l’équation de départ.
Astuce
Résoudre une équation demande de la rigueur. À chaque étape de calcul, il faut aller à la ligne, faire très attention aux priorités de calcul, ainsi qu'aux signes. Toujours montrer son raisonnement en entier pour ne pas perdre de point.
Les bases des équations
Que sauras-tu à la fin de cette vidéo ?
- Être capable de reconnaître une équation et ses principales propriétés
- Connaître les opérations possibles sur les équations
Sommaire
- Les bases des équations : définition et objets (inconnues et ensemble des solutions)
- Opérations sur les équations
Équation du 1er degré
Que sauras-tu à la fin de cette vidéo ?
Être capable de résoudre des équations du 1er degré
- Connaître l’ensemble des étapes pour résoudre des équations du 1er degré à une inconnue
- Résoudre des équations du 1er degré à une inconnue
Sommaire
- Les étapes de la résolution d’une équation du 1er degré et exemples
- Équations impossibles ou indéterminées
Les équations impossibles et indéterminées
Que sauras-tu à la fin de cette vidéo ?
Être capable de résoudre des équations du 1er degré
- Savoir ce que ce sont des équations impossibles et indéterminées
- Résoudre des équations du 1er degré dites impossibles et indéterminées
Exercice corrigé n° 1
💡 Pour résoudre cette équation linéaire, on utilise la formule suivante :
\[x=-\frac{b}{a}\]
On identifie les valeurs de a et b :
- a = 3
- b = 12
On remplace les valeurs trouvées dans la formule :
\[x=\color{purple}-\frac{\color{blue}b}{\color{lime}a}\leftrightarrow x=\color{purple}-\frac{\color{blue}1\color{blue}2}{\color{lime}3}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[x=-4\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ -4 \right \}\]
Exercice corrigé n° 2
💡 Pour résoudre cette équation linéaire, on utilise la formule suivante :
\[x=-\frac{b}{a}\]
On identifie les valeurs de a et b :
- a = 10
- b = -8
On remplace les valeurs trouvées dans la formule :
\[x=\color{purple}-\frac{\color{blue}b}{\color{lime}a}\leftrightarrow x=\color{purple}-\frac{\color{purple}-\color{blue}8}{\color{lime}1\color{lime}0}\]
On simplifie la fraction, c’est-à-dire que l’on applique les règles des signes (- – = +) et on la rend irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[x=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ \frac{4}{5} \right \}\]
Exercice corrigé n° 3
💡 Pour résoudre cette équation linéaire, on utilise la formule suivante :
\[x=-\frac{b}{a}\]
On identifie les valeurs de a et b :
- a = -5
- b = 20
On remplace les valeurs trouvées dans la formule :
\[x=\color{purple}-\frac{\color{blue}b}{\color{lime}a}\leftrightarrow x=\color{purple}-\frac{\color{blue}2\color{blue}0}{\color{purple}-\color{lime}5}\]
On simplifie la fraction, c’est-à-dire que l’on applique les règles des signes (- – = +) et on la rend irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[x=\frac{20}{5}=4\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ 4 \right \}\]
Exercice corrigé n° 4
💡 La méthode « balance » est la méthode de base de résolution des équations linéaires.
🧠 Elle consiste à faire exactement les mêmes opérations à gauche et à droite du signe d’égalité, afin de maintenir l’équilibre de l’équation.
⚠️ Certaines opérations sont interdites :
- On n’a pas le droit de diviser par 0 ;
- On n’a pas le droit de multiplier par 0 ;
- On n’a pas le droit de diviser/multiplier par l’inconnue.
Pour résoudre cette équation linéaire, on soustrait 5 de chaque côté du signe = :
\[10x+5{\color{purple}-\color{green}5}=0{\color{purple}-\color{green}5}\]
On simplifie en calculant à gauche et à droite :
\[\color{red}1\color{red}0x=\color{purple}-5\]
Ensuite, on isole l’inconnue du côté gauche et pour cela on divise par le coefficient de l’inconnue (10) du côté droit sans changer de signe :
\[\frac{10x}{{\color{red} 1\color{red}0}}=\frac{\color{purple}-5}{{\color{red} 1\color{red}0}}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[x=\frac{\color{purple}-5}{10}\leftrightarrow x=\frac{\color{purple}-1}{2}\leftrightarrow x=\color{purple}-\frac{1}{2}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ -\frac{1}{2} \right \}\]
Exercice corrigé n° 5
💡 La méthode « balance » est la méthode de base de résolution des équations linéaires.
🧠 Elle consiste à faire exactement les mêmes opérations à gauche et à droite du signe d’égalité, afin de maintenir l’équilibre de l’équation.
⚠️ Certaines opérations sont interdites :
- On n’a pas le droit de diviser par 0 ;
- On n’a pas le droit de multiplier par 0 ;
- On n’a pas le droit de diviser/multiplier par l’inconnue.
Pour résoudre cette équation linéaire, on ajoute 11 de chaque côté du signe = :
\[33x-11{\color{green} +\color{green}1\color{green}1}=0{\color{green} +\color{green}1\color{green}1}\]
On simplifie en calculant à gauche et à droite :
\[\color{red}3\color{red}3x=11\]
Ensuite, on isole l’inconnue du côté gauche et pour cela on divise par le coefficient de l’inconnue (33) du côté droit sans changer de signe :
\[\frac{33x}{{\color{red} 3\color{red}3}}=\frac{11}{{\color{red} 3\color{red}3}}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 11 :
\[x=\frac{11}{33}\leftrightarrow x=\frac{1}{3}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ \frac{1}{3} \right \}\]
Exercice corrigé n° 6
💡 La méthode « balance » est la méthode de base de résolution des équations linéaires.
🧠 Elle consiste à faire exactement les mêmes opérations à gauche et à droite du signe d’égalité, afin de maintenir l’équilibre de l’équation.
⚠️ Certaines opérations sont interdites :
- On n’a pas le droit de diviser par 0 ;
- On n’a pas le droit de multiplier par 0 ;
- On n’a pas le droit de diviser/multiplier par l’inconnue.
Pour résoudre cette équation linéaire, on ajoute 17 de chaque côté du signe = :
\[-34x-17{\color{green} +\color{green}1\color{green}7}=0{\color{green} +\color{green}1\color{green}7}\]
On simplifie en calculant à gauche et à droite :
\[\color{purple}-\color{red}3\color{red}4x=17\]
Ensuite, on isole l’inconnue du côté gauche et pour cela on divise par le coefficient de l’inconnue (-34) du côté droit sans changer de signe :
\[\frac{\color{purple}-34x}{{\color{purple} -\color{red}3\color{red}4}}=\frac{17}{{\color{purple} -\color{red}3\color{red}4}}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 17 :
\[x=\frac{17}{\color{purple}-34}\leftrightarrow x=\frac{1}{\color{purple}-2}\leftrightarrow x=\color{purple}-\frac{1}{2}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ -\frac{1}{2} \right \}\]
Exercice corrigé n° 7
🧠 La méthode « gauche/droite » est une automatisation pour aller plus vite. Elle se résume à 2 étapes :
- On met les inconnues (ici x) à gauche et les chiffres à droite ;
- On isole x.
On passe 18 du côté droit (🧠 lorsqu’on passe un chiffre de l’autre côté du signe = et que l’on fait une addition/soustraction, le signe change) :
\[\color{red}2\color{red}6x=\color{purple}-\color{green}1\color{green}8\]
Pour isoler l’inconnue on divise par le coefficient de l’inconnue (26) du côté droit sans changer son signe :
\[x=\color{purple}-\frac{18}{\color{red}2\color{red}6}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[x=\color{purple}-\frac{9}{13}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ -\frac{9}{13} \right \}\]
Exercice corrigé n° 8
🧠 La méthode « gauche/droite » est une automatisation pour aller plus vite. Elle se résume à 2 étapes :
- On met les inconnues (ici x) à gauche et les chiffres à droite ;
- On isole x.
On passe (-9) du côté droit (🧠 lorsqu’on passe un chiffre de l’autre côté du signe = et que l’on fait une addition/soustraction, le signe change) :
\[\color{red}5\color{red}7x=\color{green}9\]
Pour isoler l’inconnue on divise par le coefficient de l’inconnue (57) du côté droit sans changer son signe :
\[x=\frac{9}{\color{red}5\color{red}7}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[x=\frac{3}{19}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ \frac{3}{19} \right \}\]
Exercice corrigé n° 9
🧠 La méthode « gauche/droite » est une automatisation pour aller plus vite. Elle se résume à 2 étapes :
- On met les inconnues (ici x) à gauche et les chiffres à droite ;
- On isole x.
On passe (-25) du côté droit (🧠 lorsqu’on passe un chiffre de l’autre côté du signe = et que l’on fait une addition/soustraction, le signe change) :
\[\color{red}-\color{red}8\color{red}5x=\color{green}2\color{green}5\]
Pour isoler l’inconnue on divise par le coefficient de l’inconnue (-85) du côté droit sans changer son signe :
\[x=\frac{25}{\color{red}-\color{red}8\color{red}5}=\color{purple}-\frac{25}{85}\]
On rend la fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[x=\color{purple}-\frac{5}{17}\]
On note la solution finale de l’équation :
\[S=\left \{ -\frac{5}{17} \right \}\]
Résolution d’équations du premier degré simples à une inconnue
Forme générale d’une équation du premier degré à une inconnue : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
Pour une telle équation, la solution est et sera toujours la suivante : \[x = \frac{-b}{a}\]
Nous allons nous concentrer ici sur la méthodologie pour savoir
Guide pas à pas pour résoudre les équations simples, sans fraction, sans racine
- Effectuer tous les calculs de chaque côté du = (attention aux signes et priorités des opérations).
- Réduire au maximum afin d’obtenir l’équation la plus simple possible.
- Isoler l’inconnue du côté gauche de préférence (avec le coefficient qui la multiplie, si différent de 1), ceci implique que les nombres « seuls » passant de l’autre côté doivent changer de signe, sauf s’il s’agit d’une division.
- Diviser par le coefficient qui la multiplie, si différent de 1.
- Noter la valeur de l’inconnue.
- Vérifier si l’on a trouvé la bonne valeur dans l’équation de départ.
Exemple : \[2x+3=0\]
Deux options :
- Utiliser la formule que l’on connaît car nous avons du ax + b = 0 avec a ≠ 0, la réponse est donc \[x = \frac{-b}{a}\]
- Utiliser le guide pas à pas
Option 1 : Donc a = 2 et b = 3
\[x =\frac{-3}{2}\]
Option 2 :
\[2x+3=0\]
Nous avons donc 2x = -3
On divise donc par 2, SANS changer le signe, car il s’agit d’une DIVISION.
\[x=\frac{-3}{2}\]
Vérification : on remplace donc le x par la réponse trouvée soit:
\[2\cdot \frac{-3}{2} + 3 = \frac{-6}{2}+3=\frac{-6}{2}+\frac{6}{2} = 0\]
On a donc bien trouvé la bonne réponse. ✅
Autre exemple :
\[4(x-2) +3 = 2x+1\]
Nous sommes donc obligés de choisir l’option 2, le guipe pas à pas.
On doit donc d’abord développer.
\[4x-8+3 = 2x+1\]
Puis on réduit.
\[4x-5 = 2x+1\]
\[4x-2x = 1+5\]
On isole l’inconnue.
\[2x = 6\]
On divise donc par 2, SANS changer le signe, car il s’agit d’une DIVISION.
\[x=\frac{6}{2}\]
\[x = 3\]
\[S=\left \{ 3 \right \}\]
Vérification : on remplace donc le x par la réponse trouvée soit \[x = 3\]
\[4(3-2)+3 = 2\cdot 3 + 1\]
\[4(1)+3 = 6 + 1\]
\[7 = 7\]
7 est bien égal à 7, cela répond à l’égalité de départ, nous avons donc trouvé la bonne valeur. ✅
Certaines équations peuvent mener à AUCUNE solution, il s’agit alors d’un cas impossible ou à une infinité de solutions, on parle de cas indéterminé.
Exemple 1 : AUCUNE SOLUTION ou cas impossible
- l’inconnue disparaît
- l’égalité obtenue est fausse
\[2x=2x+2\]
\[2x-2x=2\]
\[0=2\]
0 ne sera JAMAIS égal à 2, donc l’égalité est fausse et l’inconnue a disparu.
Cette équation est impossible et a AUCUNE solution : \[S=\left \{ \oslash \right \}\]
Exemple 2 : Infinité de solutions ou cas indéterminé.
- l’inconnue disparaît
- l’égalité obtenue est vraie
\[4x-3=4x-3\]
\[4x-4x=-3+3\]
\[0=0\]
0 sera TOUJOURS égal à 0, donc il y a une infinité de solutions possible (au final tout l’ensemble des réels), il s’agit donc d’un cas indéterminé.
\[S=\mathbb{R}\]
Astuce
🧠 Forme générale d’une équation du premier degré à une inconnue : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
La solution est : \[x = \frac{-b}{a}\]
🧠 Toujours changer de signe lorsque l’on passe les nombres de l’autre côté du =, – devient +, et + devient -.
Exception : lorsque l’on divise.
\[2x+6 =0\]
\[2x=-6\]
Le 6 change de signe, car il passe de l’autre côté du =.
\[x = \frac{-6}{2}\]
Le 2 NE CHANGE PAS de signe car il DIVISE le -6.
\[x = -3\]